BOJ 2098번: 외판원 순회
BOJ
문제
외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.
1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.
각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.
N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.
항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.
출력
첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.
풀이
외판원 순회 문제는 유명한 비트마스킹 문제이다. 완전탐색으로 풀려고 한다면 시간복잡도가 O(N!)이 되어버리기 때문에 시간초과가 난다.
“dp[현재 도시][방문했던 도시들] = 순회를 마치는데 드는 최소 비용”으로 정의하고 [방문했던 도시들]은 2진법 형태로 저장한다.
어느 도시에서 출발해도 모든 도시를 들러 처음 도시로 돌아오므로 순회비용은 같다.
현재 도시에서 연결된 방문하지 않은 도시들을 백트래킹으로 방문하며 모든 도시를 순회한 후 돌아왔을 때의 최솟값을 출력한다.
코드
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 987654321;
int n;
int w[16][16];
int dp[16][1 << 16];
int tsp(int cur, int vst) {
int &ret = dp[cur][vst];
// 메모이제이션을 통해 저장된 값을 불러옴
if (ret != -1) return ret;
// 모든 마을을 방문했을 때
if (vst == (1 << n) - 1) {
// 현재 도시에서 처음 도시로 돌아갈 수 있을 때
if (w[cur][0] != 0) return w[cur][0];
return INF;
}
ret = INF;
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 현재 도시에서 i 도시로 갈 수 있는 길이 없을 때 or 이미 방문 했을 때
if (w[cur][i] == 0 || vst & (1 << i)) continue;
// 현재 도시에서 i 도시로 간 다음 나머지 도시들을 순회한 비용과 현재 값 중 최솟값을 저장
ret = min(ret, w[cur][i] + tsp(i, vst | (1 << i)));
}
return ret;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
cin >> w[i][j];
}
}
memset(dp, -1, sizeof(dp));
cout << tsp(0, 1) << "\n";
return 0;
}